Задача 60882

Тема:    [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Репьюнитами называются числа     Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то частное  ^9E_n/_m,  записанное как n-значное число (возможно с нулями в начале), состоит из нескольких периодов десятичного представления дроби ¹/_m. Кроме того, если еще выполнены условия  (m, 3) = 1  и E_n – первый репьюнит, делящийся на m, то число  ^9E_n/_m  будет совпадать с периодом.

Решение

Из задачи 60876 следует, что период совпадает с числом  ^9E_n/_m,  где n – наименьшее, для которого 9E_n делится на m. При  (m, 3) = 1  9E_n делится на n тогда и только тогда, когда E_n делится на m.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	2
Название	Десятичные дроби
Тема	Десятичные дроби
задача
Номер	05.044