Задача 60884

Тема:    [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11 Название задачи: Эффект девяток.

Условие

Периодом дроби ¹/₇ является число  N = 142857.  Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999).  Докажите в общем случае, что для простого  q > 5  и натурального  p < q  период дроби ^p/_q есть такое 2n-значное число  N = N₁N₂,  что  N₁ + N₂ = .

Решение

Пусть  t = 2n  – длина периода. Согласно задаче 670881, выполняется сравнение  10^t ≡ 1 (mod q).  Отсюда  10ⁿ ≡ – 1 (mod q)  и  ^p/_q + {10ⁿ·^p/_q} = 1.  Но в десятичной системе эти дроби имеют вид  ^p/_q = 0,N₁N₂,   10ⁿ·^p/_q = 0,N₁N₂,  поэтому  N₁ + N₂ = .

Замечания

Утверждение верно только в случае, когда минимальный период дроби состоит из чётного числа цифр. Но это не всегда так. Например,  ¹/₃₇ = 0,(027).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	2
Название	Десятичные дроби
Тема	Десятичные дроби
задача
Номер	05.046