Задача 60924

Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть x₁, x₂ – корни уравнения  x² + px + q = 0.  Выразите через p и q следующие выражения:
а)     б)     в)     г)  

Решение 1

а)   

б)   

в)   

г)     

Решение 2

а) Запишем уравнение в виде     Отсюда видно, что ¹/_x1 и ¹/_x2 – корни уравнения  qt² + pt + 1 = 0.  По формуле Виета их сумма равна  – ^p/_q.

б) Из исходного уравнения следует другое:  (x² + q)² = (px)².  Отсюда видно, что     – корни уравнения  t² + (2q – p²)t + q² = 0.
Согласно а)  

г)  x₁ + p  и  x² + p  – корни уравнения  (x – p)² + p(x – p) + q = 0,  то есть уравнения  x² – px + q = 0.  Согласно б)   

Ответ

а)  – ^p/_q;    в)  3pq – p³;   б), г)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.001