Задача 60991

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде  P(x)U(x) + Q(x)V(x):
  а)  P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1,  Q(x) = x³ + x² – x – 1;
  б)  P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1,  Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

Ответ

а)  D(x) = x + 1 = – P(x)(²/₃ x – ¹/₃) + Q(x)(²/₃ x² – ¹/₃ x – ⁴/₃);
б)  D(x) = 1 = P(x)(3x² + x – 1) – Q(x)(3x³ – 2x² – x + 2).

Замечания

В п. а) НОД можно искать не только по алгоритму Евклида, но и разложением на множители:  Q(x) = (x – 1)(x² – 1) = (x – 1)²(x + 1).
Многочлены U(x) и V(x) можно искать также методом неопределенных коэффициентов.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.068