Задача 60998

Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите такие линейные функции  P(x)  и  Q(x),  чтобы выполнялось равенство   P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

Решение

Заметим, что  2x³ – 7x² + 7x – 2 = (x – 1)(x – 2)(2x – 1),  2x³ + x² + x – 1 = (2x – 1)(x² + x + 1).  Поэтому достаточно найти такие функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство  P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 1.  Их можно искать, например, методом неопределенных коэффициентов, записав последнее равенство в виде  (ax + b)(x² – 3x + 2) – (ax + c)(x² + x + 1) = 1.

Ответ

P(x) = ¹/₂₁ (4x + 5),  Q(x) = – ¹/₂₁ (4x – 11).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.075