Задача 61010

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что выражение  a²(c – b) + b²(a – c) + c²(b – a)  не равно нулю.

Решение 1

a²(c – b) + b²(a – c) + c²(b – a) = (a²c – b²c) + (b²a – a²b) + c²(b – a) = c(a² – b²) – ab(a – b) – c2(a – b) = (a – b)(ac + bc – ab – c²) =
   = (a – b)(c(b – c) + a(c – b)) = (a – b)(b – c)(c – a) ≠ 0.

Решение 2

Числа b и c, очевидно, являются корнями трёхчлена  (c – b)x² + b²(x – c) – c²(x – b).  Поэтому отличное от них число a не может являться его корнем.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.087