Задача 61029

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что многочлен  P(x) = (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  делится на  Q(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1).

Решение

  Обозначим многочлен  (xⁿ⁺¹ – 1)(xⁿ⁺² – 1)...(x^n+m – 1)  через P_n,m(x)  (n ≥ 1,  m ≥ 0),  а  P_0,m(x) = (x – 1)(x² – 1)...(x^m – 1)  – через Q_m(x).
  Докажем индукцией по  n + m,  что P_n,m делится на Q_m, причём частное – многочлен с целыми коэффициентами.
  База. Для многочленов P_0,m и P_n,1 утверждение очевидно.
  Шаг индукции. Пусть  n > 1,  а  m > 0.  Тогда
P_n,m(x) = P_n,m–1(x)(x^n+m – 1) = xⁿ(x^m – 1)P_n,m–1(x) + (xⁿ – 1)P_n,m–1(x) = xⁿ(x^m – 1)P_n,m–1(x) + P_n–1,m(x).
  По предположению индукции P_n,m–1 делится на Q_m–1, а P_n–1,m – на Q_m. Поэтому P_n,m делится на  Q_m = (x^m – 1)Q_m–1.

Замечания

Ср. с задачей 61522 д.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.106