Задача 61036

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Известно, что x₁, x₂, x₃ – корни уравнения  x³ – 2x² + x + 1 = 0.
Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  y₁ = x₂x₃,  y₂ = x₁x₃,  y₃ = x₁x₂.

Решение

y₁ + y₂ + y₃ = x₂x₃ + x₁x₃ + x₁x₂ = 1,

y₁y₂y₃ = (x₁x₂x₃)² = 1.
Поэтому искомое уравнение  x³ – x² + 2x – 1 = 0.

Ответ

x³ – x² + 2x – 1 = 0.

Замечания

Исходное уравнение имеет только один действительный корень. Поэтому и решение и ответ имеют смысл, только если речь шла о комплексных корнях уравнения.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.113