Информация о задаче

Задача 61078

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 2
Классы: 7,8,9,10,11
Название задачи: Тождество Диофанта.

Докажите равенство (a² + b²)(u² + v²) = (au + bv)² + (av – bu)².

(a² + b²)(u² + v²) = a²u² + b²u² + a²v² + b²v² = (a²u² + 2abuv + b²v²) + (b²u² – 2abuv + a²v²) = (au + bv)² + (bu – av)².

Рассмотрим комплексные числа z = a + bi, w = u – vi. Тогда доказываемое равенство превращается в очевидное |z|²|w|² = |zw|².

Аналогично решению 1 доказывается и равенство (a² – b²)(u² – v²) = (au + bv)² – (av + bu)² = (au – bv)² – (av – bu)².