Задача 61105

Темы:    [ Тригонометрия (прочее) ] [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Известно, что  sin α = ³/₅.  Докажите, что  sin 25α  имеет вид  ⁿ/_5²⁵,  где n – целое, не делящееся на 5.

Решение

  Осталось заметить, что числа    делятся на 5.

Замечания

Последнее утверждение можно доказать, например, так. Очевидно,    кратны 5. Поэтому над полем Z₅  (x + 1)⁵ = x⁵ + 1.  Следовательно, над тем же полем  (x + 1)²⁵ = (x⁵ + 1)⁵ = x²⁵ + 1,  что и означает равенство нулю по модулю 5 всех коэффициентов    (0 < k < 25).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.041