Задача 61108

Темы:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Известно, что  z + z^–1 = 2 cos α.
  а) Докажите, что  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.
  б) Как выражается  zⁿ + z^–n  через  y = z + z^–1?

Подсказка

Перейдите в равенстве  z + z^–1 = 2 cos α   к сопряженным числам и вычислите z.

Решение

  а) Если  z + z^–1 = 2 cos α,  то и     Вычитая, получим     Значит, либо     то есть z – действительное число, либо  |z| = 1.  Первый случай возможен только при  z = ± 1  (иначе  |z + z^–1| > 2 ≥ 2 cos α).  Во втором случае  
то есть  Re z = cos α.  Отсюда  z = cos α ± i sin α,  и по формуле Муавра  zⁿ + z^–n = 2 cos nα.

  б)  zⁿ + z^–n = (cos α + i sin α)ⁿ + (cos α – i sin α)ⁿ =

=  

Ответ

б)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.044