|
|
 |
Условие
При каких n
а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x² + x + 1?
б) многочлен x2n – xn + 1 делится на x² – x + 1?
Решение
а) Любой многочлен вида x3k – 1 делится на x3 – 1, а значит, и на x² + x + 1. Поэтому при n = 3k + 1
x2n + xn + 1 = (x2n – x²) + (xn – x) + x² + x + 1 делится на x² + x + 1.
Аналогично при n = 3k + 2 x2n + xn + 1 = (x2n – x) + (xn – x²) + x² + x + 1 делится на x² + x + 1.
А при n = 3k x2n + xn + 1 = (x2n – 1) + (xn – 1) – 1 не делится на x2 + x + 1.
б) Многочлен вида x6k – 1 делится на x6 – 1 = (x3 – 1)(x³ + 1), а x3 + 1 делится на x² – x + 1. Поэтому ответ зависит только от остатка от деления n на 6. Проверим все 6 случаев.
x0 – x0 + 1 = 3 не делится на x² – x + 1.
x² – x + 1 – делится.
x4 – x² + 1 = (x4 + x) – (x² – x + 1) – 2x + 2 – не делится.
x6 – x³ + 1 = (x6 – 1) – (x³ + 1) + 3 – не делится.
x8 – x4 + 1 = (x6 – x²) – (x4 + x) + (x² – x + 1) + 2x – не делится.
x10 – x5 + 1 = (x10 + x) – (x5 – x²) + x² – x + 1 – делится.
Ответ
а) n ≡ 1, 2 (mod 3); б) n ≡ 1, 5 (mod 6).
Замечания
Разумеется можно подставлять в данные многочлены комплексные корни многочленов x² ± x + 1, но это не сокращает решения.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 7 |
| Название | Комплексные числа |
| Тема | Неизвестная тема |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Комплексная плоскость |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 07.073 |
