Задача 61139

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

При каких n многочлен  (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1  делится на:
  а)  x² + x + 1;    б)  (x² + x + 1)²;    в)   (x² + x + 1)³?

Решение

  Пусть  Q(x) = (x + 1)ⁿ + xⁿ + 1,  P(x) = x² + x + 1,  тогда  x + 1 ≡ – x²,  x³ ≡ 1 (mod P)  (сравнение многочленов аналогично сравнению чисел).

  а)  Q(x) ≡ (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 (mod P).  Разберём все возможные случаи.
  1)  n кратно 3. Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ (–1)ⁿ + 2 (mod P),  а этот многочлен на P не делится.
  2)  n ≡ 1 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ – x² + x + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
  3)  n ≡ 2 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ x + x² + 1 ≡ 0 (mod P).
  4)  n ≡ 4 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ x² + x + 1 ≡ 0 (mod P).
  5)  n ≡ 5 (mod 6).  Тогда  (–1)ⁿx²ⁿ + xⁿ + 1 ≡ – x + x² + 1 ≡ 2x + 2 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P при  n ≡ 2, 4 (mod 6).  В частности, n чётно.

  б) Поскольку комплексные корни многочлена P различны, достаточно проверить, делится ли Q' на P.
Q'(x) = n(x + 1)^n–1 + nx^n–1 ≡ n(x^n–1 – (–1)ⁿx^2n–2) ≡ n(x^n–1 – x^2n–2) (mod P).
  При  n ≡ 1 (mod 3)   x^n–1 – x^2n–2 ≡ 1 – 1 ≡ 0 (mod P).
  При  n ≡ 2 (mod 3)   x^n–1 – x^2n–2 ≡ x – x² ≡ 2x + 1 (mod P).
  Таким образом, Q делится на P² при  n ≡ 4 (mod 6).

  в)  Q" = n(n – 1)((x + 1)^n–2 + x^n–2) ≡ n(n – 1)(x^2n–4 + x^n–2) ≡ n(n – 1)(x + x²) ≡ – n(n – 1) (mod P).  Поскольку  n > 1,  то Q никогда не делится на P³.

Ответ

а)  n = 6k ± 2;    б)  n = 6k – 2;    в) ни при каких.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.075