Задача 61141

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть P(xⁿ) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xⁿ) делится на  xⁿ – 1.

Решение 1

Если  x = 1  – корень многочлена P(xⁿ), то его корнем будет каждое из чисел  x_k = cos + i sin  (k = 0, ..., n – 1).  Поэтому P(xⁿ) делится на
(x – x₀)...(x – x_n–1) = xⁿ – 1.

Решение 2

Поделим P(x) на  x – 1  с остатком:  P(x) = (x – 1)Q(x) + r,  где r – число. Тогда  P(xⁿ) = (xⁿ – 1)Q(xⁿ) + r.  По теореме Безу  0 = P(1) = r. Это и значит, что P(xⁿ) делится на  xⁿ – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.077