|
|
 |
Условие
Докажите, что
а) при p ≥ 0 график многочлена x³ + px + q пересекает каждую горизонтальную прямую ровно в одной точке;
б) при p < 0 график пересекает некоторые горизонтальные прямые в трёх точках;
в) при p < 0 график имеет один минимум и один максимум;
г) абсциссы точек минимума и максимума противоположны.
Решение
Все исследуемые свойства не зависят от свободного члена. Поэтому достаточно их проверить для многочлена x³ + px.
а) Функция x³ + px строго возрастает, как сумма двух строго возрастающих функций. Значит, каждое значение она принимает не больше одного раза. С другой стороны, кубическое уравнение x³ + px = b имеет решение при любом b.
б) Например, прямую y = 0 график пересекает в трёх точках.
в) Пусть p = – a². На отрезке [– a, 0] многочлен x³ + px = x(x – a)(x + a) неотрицателен и, следовательно, имеет положительный максимум. Аналогично на отрезке [0, a] он имеет отрицательный минимум. Больше двух эстремумов он иметь не может, так как производная имеет ровно два корня.
г) Из нечётности функции x³ + px следует, что точки экстремума симметричны относительно начала координат.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Уравнения и системы |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Уравнения третьей степени |
| Тема | Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения |
| задача | |
| Номер | 09.001 |
