|
|
 |
Условие
Разложите многочлен a³ + b³ + c³ – 3abc на три линейных множителя.
Решение
Пусть ω — кубический корень из 1.
Будем рассматривать наше выражение как многочлен от переменной a (а b и c – как константы). Как известно (см. задачу 61005 г),
a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – ac – bc). Следовательно, – (b + c) – корень этого многочлена. Но это же выражение можно записать в виде a³ + ω³b³ + ω6c³ – 3ω³abc = a³ + (ωb)³ + (ω²c)³ – 3a(ωb)(ω²c), и из вышеуказаного разложения следует, что – (ωb + ω²c) – также корень. Аналогично корнем нашего многочлена является и – (ω²b + ωc). Значит, a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc).
Ответ
a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a + ωb + ω²c)(a + ω²b + ωc).
Замечания
См. также решение 1 задачи 61260.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Уравнения и системы |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Уравнения третьей степени |
| Тема | Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения |
| задача | |
| Номер | 09.008 |
