Задача 61268

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Симметрические многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11 Название задачи: Дискриминант кубического уравнения.

Условие

Пусть уравнение  x³ + px + q = 0  имеет корни x₁, x₂ и x₃. Выразите через p и q дискриминант этого уравнения   D = (x₁ – x₂)²(x² – x₃)²(x₃ – x₁)².

Решение

  По теореме Виета  x₁ + x₂ + x₃ = 0,  x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = p,  x₁x₂x₃ = – q,  откуда

  Значит,     Отсюда

Ответ

–4p³ – 27q².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.017