Задача 61277

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Геометрия комплексной плоскости ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Решение

Пусть w – центр указанного треугольника, а  w + z  – один из корней. Тогда остальные корни равны  w + ωz  и  w + ω²z,  где ω – кубический корень из 1. По теореме Виета  a = – 3w,  b = (w + z)(2w + (ω + ω²)z) + (w + ωz)(w + ω²z) = (w + z)(2w – z) + (w² – wz + z²) = 3w².  Значит,  f'(x) = 3x² – 6wx + 3w² = 3(x – w)²,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.026