Задача 61278

Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

Решение

  Общий корень является также корнем уравнений   (x³ + px + q) – (x³ + p'x + q') = (p – p')x + (q – q') = 0  и
q'(x³ + px + q) – q(x³ + p'x + q') = (q' – q)x³ + (pq' – qp')x = 0.
  Если общий корень – 0, то  q' = q = 0,  и условие выполнено.
  В противном случае  (p – p')x = q' – q,  (q' – q)x² = qp' – pq'.
  Отсюда  (q – q')³ = (q – q')(p – p')²x² = (p – p')²(pq' – qp').

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.027