Задача 61282

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Тригонометрические замены ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Решите систему
    y = 2x² – 1,
    z = 2y² – 1,
    x = 2z² – 1.

Решение

  Из системы видно, что все неизвестные не меньше –1. Если одно из них (например, x) больше 1, то
y = 2x² – 1 = x² + x² – 1 > x + 1 – 1 = x.  Аналогично,  z > y,  x > z.  Противоречие:  x > z > y > x.
  Следовательно,  |x| ≤ 1,  и можно сделать замену  x = cos φ,  0 ≤ φ ≤ π.  Тогда  y = cos 2φ,  z = cos 4φ,  x = cos 8φ.  Получаем уравнение
cos 8φ = cos φ,  откуда  8φ = ± φ + 2kπ,  то есть  9φ = 2kπ  или  7φ = 2kπ.

Ответ

(1, 1, 1);  (– ½, – ½, – ½);  (cos ^2π/₉, cos ^4π/₉, – cos ^π/₉);  (cos ^2π/₇, – cos ^3π/₇, – cos ^π/₇)  и все наборы, получающиеся из указанных циклическими перестановками.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Тригонометрические замены
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.031