ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 61291
УсловиеРешите системы: a) Решение a) Если одно из неизвестных (например, x) больше 1, то z = 4x³ – 3x = x³ + 3(x³ – x) > 1; аналогично y > 1. Но тогда б) Как легко проверить ни одно из неизвестных не может равняться 1. Поэтому первое уравнение можно записать в виде После замены в) Ясно, что все переменные имеют один знак, поэтому будем считать, что все они положительны. г) Положим x = tg α/2, y = tg β/2, z = tg γ/2 (– π < α, β, γ < π). Тогда два первых уравнения запишутся в виде cos α = sin β = cos γ, а последнее при наших ограничениях, аналогично в), даст условие α + β + γ = ± π. Из равенства cos α = cos γ получаем γ = ±α. Но если γ = – α, то β = ± π, что невозможно. Ответа) (0, 0, 0), ± (1, 1, 1), ± (cos π/14, – cos 5π/14, cos 3π/14), ± (cos π/7, – cos 2π/7, cos 3π/7), ± (cos π/13, – cos 4π/13, cos 3π/13),± (cos 2π/13, – cos 5π/13, cos 6π/13) и все наборы, получающиеся из указанных циклическими перестановками. б) (0, 0, 0), ± (tg π/7, tg 2π/7, – tg 3π/7) и все наборы, получающиеся из указанных циклическими перестановками. в) (± 1/3, ± 1/2, ±1). г) Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|