Задача 61375

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a²(1 + b⁴) + b²(1 + a⁴) ≤ (1 + a⁴)(1 + b⁴).

Решение

2(1 + a⁴)(1 + b⁴) – 2(a²(1 + b⁴) + b²(1 + a⁴)) = (a⁴b⁴ – 2a⁴b² + a⁴) + (a⁴b⁴ – 2a²b⁴ + b⁴) + (a⁴ – 2a² + 1) + (b⁴ – 2b² + 1) =
= a⁴(b² – 1)² + b⁴(a² – 1)² + (a² – 1)² + (b² – 1)² ≥ 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.024