ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61394
Темы:    [ Произведения и факториалы ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Число e ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите неравенства:
  а)  

  б)     при  n > 1;

  в)     при n > 6.


Решение

  а) Левое неравенство доказано в задаче 78152. Правое неравенство следует из неравенства Коши.

  б) Заметим, что  n! > 2n–1.  Следовательно,

 
  Докажем левое неравенство по индукции. База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции.     поскольку  
  Правое неравенство доказывается аналогично с использованием очевидного неравенства  (1 + 1/n)n > 2   при  n > 1.

  в) Заметим, что последовательность  (1 + 1/n)n  возрастает. Действительно,
    (мы использовали неравенство Бернулли, см. задачу 30899).
  С другой стороны, последовательность  (1 + 1/n+1)  убывает. Действительно,
 
  Поскольку число e по определению равно     то  
  Докажем оба неравенства по индукции. База  (n = 7)  проверяется непосредственно.
  Шаг индукции.     поскольку  
    поскольку  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 10
Название Неравенства
Тема Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер 1
Название Различные неравенства
Тема Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер 10.043

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .