Задача 61396

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что для любых натуральных m и n хотя бы одно из чисел  ,    не больше  .

Решение

  Если  n ≥ m,  то     Поэтому достаточно доказать, что   то есть что  3ⁿ ≥ n³. Докажем это по индукции.
  База:  3¹ > 1³,  3² > 2³,  3³ = 3³.
  Шаг индукции.  3ⁿ⁺¹ = 3·3ⁿ ≥ 3n³ > (n + 1)³,  поскольку     при  n ≥ 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.045