Задача 61404

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
  а)   ≤   неравенство Коши);
  б)  

  в)     где  b₁ + ... + b_n = 1.
  Значения переменных считаются положительными.

Решение

  а) Первый способ. Из неравенства Коши для двух чисел (см. задачу 20862) по индукции легко выводится неравенство Коши для  n = 2^k  чисел. Поэтому достаточно доказать, что из неравенства Коши для n чисел следует неравенство Коши для  n – 1  числа.
  Действительно, согласно неравенству Коши для n чисел
  откуда     что и требовалось.
  Второй способ. Пусть   a₁ + ... + a_n = n   (это не ограничивает общности). Надо доказать, что     Пусть среди чисел a_i есть неравные. Тогда среди них найдутся такие два числа (можно считать, что это a₁ и a₂), что  a₁ < 1,  a₂ > 1.  Заменим a₁ на  c₁ = 1,  а a₂ на
c₂ = a₁ + a₂ – 1.  Тогда  c₁ + c₂ + a₃ + ... + a_n  по-прежнему равно n, а     поскольку
c₁c₂ = 1·(a₁ + a₂ – 1) = a₁a₂ + (1 – a₁)(a₂ – 1) > a₁a₂.
  Продолжая эти замены, мы дойдём до набора  (1, 1, ..., 1).  Следовательно,  
  Третий способ. Положим  b₁ = ... = b_n = 1  и применим неравенство из задачи 61403.
  Четвёртый способ. Это частный случай неравенства Мюрхеда (см. задачу 61425).

  б) Положим  a₁ = ... = a_n = 1  и применим неравенство из задачи 61403.

  в) Положим  a₁ = b₁c₁,  ...,  a_n = b_nc_n  и применим неравенство из задачи 61403.

Замечания

Из приведённых решений видно, что неравенство Коши превращается в равенство, только когда все числа равны между собой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	2
Название	Суммы и минимумы
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.053