ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 61407
УсловиеНеравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2, ..., xn ( n 2) из [a;b] и любых положительных , , ..., таких, что + +...+ = 1, выполняется неравенство:
f (x1 +...+ xn) > f (x1) +...+ f (xn).
РешениеПрименим индукцию. При n = 2 неравенство Иенсена было доказано в задаче 10.55. Предположим, что оно верно для некоторого n 2 и докажем его при n + 1. Пусть = +...+ > 0. Тогда +...+ = 1. Используя неравенство с n = 2, находим
fx1 +...+ xn > f (x1) +...+ f (xn).
Следовательно
f (x1 +...+ xn + 1) > f (x1) +...+ f (xn + 1).
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|