Задача 61410

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если  x + y + z = 6,  то  x² + y² + z² ≥ 12.

Решение 1

x² + y² + z² = (x – 2)² + (y – 2)² + (z – 2)² + 4(x + y + z) – 3·4 ≥ 4·6 – 12 = 12.

Решение 2

Согласно неравенству между средним арифметическим и средним квадратичным  3(x² + y² + z²) ≥ (x + y + z)² = 36.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	3
Название	Выпуклость
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.059