Информация о задаче

Задача 61462

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $\geqslant$ 0):

a) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n;

б) a₀ = 1, a₁ = 1, a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_n;

в) a₀ = 1, a₁ = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n;

г) a₀ = 1, a₁ = 2, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} - a_n;

д) a₀ = 0, a₁ = 1, a_{n + 2} = 2a_{n + 1} + a_n.

Ответ

а) a_n = 3ⁿ - 2ⁿ;
б) a_n = 1;
в) a_n = ${\dfrac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{1+\dfrac{1}{\sqrt5}}\right.$ 1 + ${\dfrac{1}{\sqrt5}}$ $\left.\vphantom{1+\dfrac{1}{\sqrt5}}\right)$ $\left(\vphantom{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\right.$ ${\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{1+\sqrt5}{2}}\right)^{n}_{}$ + ${\dfrac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{1-\dfrac{1}{\sqrt5}}\right.$ 1 - ${\dfrac{1}{\sqrt5}}$ $\left.\vphantom{1-\dfrac{1}{\sqrt5}}\right)$ $\left(\vphantom{\dfrac{1-\sqrt5}{2}}\right.$ ${\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ $\left.\vphantom{\dfrac{1-\sqrt5}{2}}\right)^{n}_{}$ = F_{n + 1};
г) a_n = n + 1;
д) a_n = ${\dfrac{1}{2\sqrt2}}$ $\left(\vphantom{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}\right.$ (1 + $\sqrt{2}$ )ⁿ - (1 - $\sqrt{2}$ )ⁿ $\left.\vphantom{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.035