Информация о задаче

Задача 61480

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Определим последовательности {x_n} и {y_n} при помощи условий:

x_n = x_{n - 1} + 2y_{n - 1}sin² $\displaystyle \alpha$ , y_n = y_{n - 1} + 2x_{n - 1}cos² $\displaystyle \alpha$ ; x₀ = 0, y₀ = cos $\displaystyle \alpha$ .

Найдите выражение для x_n и y_n через n и $\alpha$ .

Ответ

x_n = ${\dfrac{1}{2}}$ sin $\alpha$ $\left[\vphantom{(1+\sin2\alpha)^n-(1-\sin2\alpha)^n}\right.$ (1 + sin 2 $\alpha$ )ⁿ - (1 - sin 2 $\alpha$ )ⁿ $\left.\vphantom{(1+\sin2\alpha)^n-(1-\sin2\alpha)^n}\right]$ ,
y_n = ${\dfrac{1}{2}}$ cos $\alpha$ $\left[\vphantom{(1+\sin2\alpha)^n+(1-\sin2\alpha)^n}\right.$ (1 + sin 2 $\alpha$ )ⁿ + (1 - sin 2 $\alpha$ )ⁿ $\left.\vphantom{(1+\sin2\alpha)^n+(1-\sin2\alpha)^n}\right]$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	2
Название	Рекуррентные последовательности
Тема	Рекуррентные соотношения
задача
Номер	11.053