Задача 64319

Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Теорема Птолемея ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11 Название задачи: Неравенство Птолемея.

Условие

Автор: Фольклор

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство  AB·CD + AC·BD > AD·BC.

Решение

  Пусть D' – проекция точки D на плоскость ABC. Обозначим  a = BC,  b = AC,  c = AB,  d = DD',  u = AD',  v = BD',  w = CD'.  Надо доказать неравенство     После возведения в квадрат получаем

  Согласно неравенству Птолемея для точек на плоскости (см. задачу 58396 а)  cw + bv ≥ au,  то есть  c²w² + b²v² + 2bcvw ≥ a²u².  Согласно неравенству треугольника  c + b > a,  то есть  c² + b² + 2bc > a².  Следовательно, достаточно доказать, что     Но это – частный случай неравенства Коши – Буняковского (см. задачу 61402 а).