Задача 64321

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Можно ли расположить на плоскости четыре точки А, В, С и D так, чтобы прямые АВ и CD, АС и BD, AD и ВС были перпендикулярны?

Решение

Например, рассмотрим равносторонний треугольник АВС и точку D пересечения двух его высот, опущенных из вершин В и С (см. рис.).

Треугольник ВDС равнобедренный (так как углы при основании BC равны). Поэтому точки D и A лежат на серединном перпендикуляре
к стороне BC, следовательно, прямая AD перпендикулярна BC.

Ответ

Можно.

Замечания

Указанным требованиям удовлетворяют вершины любого непрямоугольного треугольника АВС и точка D пересечения его высот.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	7
задача
Номер	7.1.2