Условие
Высота AK, биссектриса BL и медиана CM треугольника АВС пересекаются в точке О, причём АО = ВО.
Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.
Решение 1
Из условия следует, что треугольник АОВ – равнобедренный, а ОМ – его медиана, проведённая к основанию (см. рис.). Следовательно, ОМ – высота треугольника АОВ. Тогда и медиана СМ треугольника АВСявляется его высотой, значит, этот треугольник – равнобедренный: СА = СВ.
Из равнобедренности треугольников АСВ и АОВ следуют равенства углов при их основаниях, значит, ∠ОВС = ∠ОАС. Поскольку BL – биссектриса угла АВС, то AK – биссектриса угла ВАС. По условию, AK – высота треугольника АВС, поэтому АВ = АС.
Таким образом, АВ = ВС = АС, то есть треугольник АВС – равносторонний.
Решение 2
Из равенства АО = ВО следует, что ∠ОАВ = ∠ОВА (см. рис.). Поскольку ∠AKВ = 90°, а ВО – биссектриса угла АВK, то ∠ОАВ = ∠ОВА = ∠ОВK = 30°. Поэтому в прямоугольном треугольнике АВK ВK = ½ AB = ВM. Значит, треугольники ОВМ и OBK равны (по двум сторонам и углу между ними), откуда
ОМ ⊥ АВ. Следовательно, прямоугольные треугольники АKB и CMB равны по катету и острому углу, и АB = СB. Таким образом, треугольник АВС – равнобедренный с углом АВС = 60°, то есть равносторонний.
Замечания
Решение 1 можно сократить, если воспользоваться тем, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
