Задача 64328
|
|
 |
Условие
Известно, что а, b и c – различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из возможных, то их произведение abc является кубом натурального числа.
Решение
По условию ни одно из чисел a, b, c не имеет простых делителей, меньших 100. Поскольку эти числа – составные, то у каждого из них есть не менее двух простых делителей, больших 100.
Первые три простых числа во второй сотне – это 101, 103 и 107. Следовательно, 101² является наименьшим числом, обладающим указанными свойствами, а 101·103 – следующим за ним. Так как 103² = 10609 < 101·107 = 10807, то следующее число – 103².
Таким образом, abc = 101²·101·103·103² = (101·103)³.
