Задача 64339

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Нилов Ф.

Внутри угла AOD проведены лучи OB и OC, причём  ∠AOB = ∠COD.  В углы AOB и COD вписаны непересекающиеся окружности.
Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла AOD.

Решение

Пусть O₁ и O₂ – центры данных окружностей, R₁ и R₂ – их радиусы, L – точка пересечения касательных. Заметим, что окружности гомотетичны с центром L, то есть  .  С другой стороны, из подобия прямоугольных треугольников с гипотенузами OO₁ и OO₂ (см. рис.) следует, что  .  Таким образом,  ,  откуда следует, что OL – биссектриса треугольника O₁OO₂, а значит, и угла AOD.

Замечания

1. Если рассматривать не внутренние касательные, а внешние, то точка их пересечения будет лежать на биссектрисе соответствующего внешнего угла, то есть на прямой, перпендикулярной OL.

2. Угол AOB может быть и больше половины угла AOD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
	1
Класс	10-11 класс
задача
Номер	2