Задача 64341

Темы:    [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Авторы: Кноп К.А., Синицын С., Воронов В.

На сторонах четырёхугольника ABCD с перпендикулярными диагоналями во внешнюю сторону построены подобные треугольники ABM, CBP, CDL и ADK (соседние ориентированы по-разному). Докажите, что  PK = ML.

Решение

  Из подобия треугольников следует, что    (рис. слева). Заметим, что   ,   .
Рассмотрим суммы в скобках.    получается из    поворотом на угол  α =   и умножением на  .  Аналогично    получается из    поворотом на угол –α и умножением на  .

             

  Заметим, что  ,  а    (рис. справа). Поскольку диагонали перпендикулярны, то эти векторы симметричны относительно BD, следовательно, суммы в скобках тоже симметричны относительно BD, и при прибавлении к ним вектора    получаются векторы одинаковой длины.

Замечания

Ср. с задачей 56507.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
	1
Класс	10-11 класс
задача
Номер	4