Задача 64402

Темы:    [ Описанные четырехугольники ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Теорема косинусов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Автор: Полянский А.

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

Решение

  Предположим, что  ∠ALB ≥ 90°.  Тогда AB² ≥ AL² + BL²  и  CD² ≥ CL² + DL²;  отсюда же получаем, что  AD² ≤ AL² + DL²  и  BC² ≤ BL² + CL².  Значит,
2AB² = AB² + CD² ≥ AD² + BC².
  С другой стороны, из описанности имеем  2AB = AB + CD = BC + AD.  Значит,  AD ≠ BC,  и  2(AD² + BC²) = (AD + BC)² + (AD – BC)² > (2AB)² = 4AB².   Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2