Задача 64411

Тема:    [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Докажите, что при  n > 0  многочлен  x²ⁿ⁺¹ – (2n + 1)xⁿ⁺¹ + (2n + 1)xⁿ – 1  делится на  (x – 1)³.

Решение

P(1) = 1 – (2n + 1) + (2n + 1) – 1 = 0,
P'(1) = (2n + 1) – (n + 1)(2n + 1) + n(2n + 1) = 0,
P"(1) = 2n(2n + 1) – n(n + 1)(2n + 1) + n(n – 1)(2n + 1) = n(2n + 1)(2 – (n + 1) + n – 1) = 0.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.104
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2017/18
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2.3