Задача 64412

Тема:    [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что многочлен  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ  имеет число –1 корнем кратности  m + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:
    a₀ – a₁ + a₂ – a₃ + ... + (–1)ⁿa_n = 0,
    – a₁ + 2a₂ – 3a₃ + ... + (–1)ⁿna_n = 0,
      ...
    – a₁ + 2^ma₂ – 3^ma₃ + ... + (–1)ⁿn^ma_n = 0.

Решение

  Переформулируем утверждение:
      многочлен  P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ  имеет число –1 корнем кратности  m + 1  тогда и только тогда, когда
          f(0)a₀ – f(1)a₁ + ... + (–1)ⁿf(n)a_n = 0, (*)
    для каждого многочлена f степени не выше m.
  Докажем его индукцией по m. База  (m = 0)  очевидна.
  Шаг индукции. Число –1 является корнем кратности  m + 1  тогда и только тогда, когда оно является корнем кратности m и  P^(m)(–1) = 0.  Первое согласно предположению индукции эквивалентно тому, что (*) выполнено для всех многочленов  f степени не выше  m – 1.
  Второе эквивалентно равенству  g(0)a₀ – g(1)a₁ + ... + (–1)ⁿg(n)a_n = 0,  где  g(k) = k(k – 1)...(k – m + 1) = k^m + h(k),  h(k) – многочлен степени  m – 1.
  Поскольку (*) выполнено для многочленов g и h, то оно выполнено и для многочлена  k^m = g(k) – h(k),  а значит, и для любого многочлена  f степени не выше m.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.105