Задача 64481

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

При каких натуральных n число  n² – 1  является степенью простого числа?

Решение

  n² – 1 = (n + 1)(n – 1),  а  НОД(n + 1, n – 1) = d ≤ 2. 
  Если  d = 2,  то  n² – 1  – степень двойки:  n + 1 = 2^k  и  n – 1 = 2^m,  причём значения этих степеней различаются на 2. Значит,  k = 2,  m = 1,  n = 3.
  Если же  d = 1,  то n – 1 = 1,  то есть  n = 2.

Ответ

При  n = 2  и  n = 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1.3