|
|
 |
Условие
Существует ли такое значение α, что все члены бесконечной последовательности cos α, cos 2α, ..., cos(2nα), ... принимают отрицательные значения?
Решение
Пусть, например, α = 2π/3, тогда cos α = cos 2π/3 = – ½. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Докажем по индукции, что все члены последовательности равны – ½. База уже есть.
Шаг индукции. Пусть cos(2kα) =
– ½, тогда cos(2k+1α) = cos(2·2kα) = 2cos²(2kα) – 1 = 2(– ½)² – 1 = – ½.
Второй способ. Заметим, что cos 2α = cos 4π/3 = cos (– 2π/3) = – ½. Докажем, что если n – чётно, то 2nα = 2π/3 + 2πm, а если нечётно, то
2nα = – 2π/3 + 2πm, где m – некоторое целое число.
Действительно, 22k·2π/3 = 2π/3 + 2πm ⇔ 4k – 1 кратно 3. Но это действительно так.
Аналогично, 22k–1·2π/3 = – 2π/3+ 2πm ⇔ 22k–1 + 1 кратно 3, что тоже верно.
Ответ
Существует.
Замечания
Можно доказать, что условию задачи удовлетворяют только числа вида ± 2π/3 + 2πm, где m – целое число.
