Задача 64486

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Дан четырёхугольник АВСD площади 1. Из его внутренней точки О опущены перпендикуляры OK, OL, OM и ON на стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно. Известно, что  AK ≥ KB,  BL ≥ LC,  CM ≥ MD  и  DN ≥ NA.  Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

Решение

  Из двух наклонных, проведённых из одной точки больше та, у которой проекция больше. Поэтому из неравенств, заданных в условии задачи, следует, что  ОА ≥ OB ≥ OC ≥ OD ≥ OA.  Значит,  ОА = OB = OC = OD,  то есть О – центр окружности, описанной около четырёхугольника АВСD (см. рис.). Поэтому точки K, L, M и N являются серединами сторон АВСD. Следовательно, согласно задаче 56493 а)  S_KLMN = ½ S_ABCD = ½.

Ответ

0,5.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3.2