Задача 64518
|
|
 |
Условие
Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть O – центр масс тетраэдра ABCD, T – точка пересечения медиан грани ABC. При гомотетии с центром O и коэффициентом –3, T перейдёт в D, а X – в некую точку Y. Поэтому DY || TX, то есть DY – одна из указанных прямых (прямая TO совпадает с DT). Аналогично три остальные прямые проходят через точку Y.
Замечания
4 балла
