Задача 64541

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

В равнобедренный треугольник ABC  (AB = BC)  вписана окружность с центром O, которая касается стороны AB в точке E. На продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D так, что  AD = ½ AC. Докажите, что прямые DE и AO параллельны.

Решение

  Пусть M – точка касания окружности со стороной AC (см. рис.). Так как треугольник ABC – равнобедренный, то M – середина AC. Таким образом,
DA = AM = MC.
  С другой стороны,  AE = AM  (отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки). Из равенства  AE = AM = AD  следует, что треугольник DEM – прямоугольный с прямым углом E, то есть  DE ⊥ EM.  Кроме того, в равнобедренном треугольнике EAM биссектриса AO является также высотой, то есть  AO ⊥ EM.  Следовательно, DE и AO параллельны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2013
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3