|
|
 |
Условие
Найдите наибольшее значение выражения a + b + c + d – ab – bc – cd – da, если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку [0, 1].
Решение 1
Заметим, что a + b + c + d – ab – bc – cd – da = (a + c) + (b + d) – (a + c)(b + d). Пусть a + c = x, b + d = y, 0 ≤ x ≤ 2 и 0 ≤ y ≤ 2.
x + y – xy = (x – 1)(1 – y) + 1, где |x – 1| ≤ 1 и |1 – y| ≤ 1. Следовательно, (x – 1)(1 – y) ≤ 1, а x + y – xy ≤ 2.
Значение 2 достигается, например, если a = c = 1, b = d = 0.
Решение 2
Зафиксируем значения переменных b, c и d и рассмотрим функцию f(a) = (1 – b – d)a + b + c + d – bc – cd, где 0 ≤ a ≤ 1. В силу монотонности, ее наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка [0, 1], то есть равно b + c + d – bc – cd или 1 + c – bc – cd.
Рассматривая эти выражения как функции от c, аналогично получаем, что их максимальные значения: b + d или 1, 1 или 2 – b – d.
Так как 0 ≤ b + d ≤ 2, то наибольшее значение данного выражения равно 2.
Ответ
2.
