Задача 64549

Темы:    [ Точка Торричелли ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Признаки подобия ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы:

Условие

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K, а на стороне AC – точка M. Отрезки BM и CK пересекаются в точке P. Оказалось, что углы APB, BPC и CPA равны по 120°, а площадь четырёхугольника AKPM равна площади треугольника BPC. Найдите угол BAC.

Решение

  К обеим частям равенства  S_AKPM = S_BPC  прибавим площадь треугольника BPK (см. рис.). Получим, что  S_ABM = S_BCK.  Следовательно,
^AM/_AC·S_ABC = ^BK/_AB·S_ABC ,  то есть  BK : AB = AM : AC.  Таким образом, точки K и M делят отрезки BA и AC в одном и том же отношении, считая от вершин B и A соответственно, то есть   BK : KA = AM : MC.  (*)

  Заметим теперь, что  ∠BPK = ∠KPA = ∠APM = ∠MPC = 60°.  Значит, PK и PM – биссектрисы треугольников APB и APC соответственно. По свойству биссектрисы треугольника   BK : KA = BP : PA  и  AM : MC = AP : PC .  Учитывая равенство (*), получим  BP : PA = AP : PC.
  Таким образом, треугольники BPA и APC подобны (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,  ∠PAC = ∠PBA.  Значит,
∠BAC = ∠BAP + ∠PAC = ∠BAP + ∠PBA = 180° – 120° = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2013
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5