ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64550
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В клетки таблицы размером 9×9 расставили все натуральные числа от 1 до 81. Вычислили произведения чисел в каждой строке таблицы и получили набор из девяти чисел. Затем вычислили произведения чисел в каждом столбце таблицы и также получили набор из девяти чисел.
Могли ли полученные наборы оказаться одинаковыми?


Решение

  Каждое из произведений чисел, стоящих в девяти строках таблицы, представим в виде произведения простых множителей. Выпишем все простые числа, большие 40, но меньшие 81:  41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79.  Каждое из этих десяти чисел может встретиться только в одном из этих девяти произведений, поскольку числа, кратные любому из них, превышают 81. Следовательно, найдётся строка x, произведение чисел в которой будет содержать не менее двух из указанных множителей. Эти множители будут располагаться в разных столбцах. Два таких множителя обозначим через m и n.
  Рассмотрим теперь произведения чисел, стоящих в столбцах таблицы. Так как числа m и n не могут располагаться в одном столбце, то ни одно из произведений в столбцах не может совпасть с произведением чисел, стоящих в строке x. Следовательно, полученные наборы не могут оказаться одинаковыми.


Ответ

Не могли.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2013
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .