Задача 64552

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 3 Классы:

Условие

В треугольнике ABC угол C равен 75°, а угол B равен 60°. Вершина M равнобедренного прямоугольного треугольника BCM с гипотенузой BC расположена внутри треугольника ABC. Найдите угол MAC.

Решение

Из условия следует, что  ∠BAC = 45°.  Проведём окружность с центром M и радиусом  MB = MC.  Так как  ∠BMC = 90°,  то большая дуга BC этой окружности является геометрическим местом точек, из которых хорда BC видна под углом 45°. Следовательно, вершина A принадлежит этой окружности. Значит, треугольник AMC – равнобедренный, и  ∠MAC = ∠MCA = ∠BCA – ∠MCB = 75° – 45° = 30°.

Ответ

30°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2013
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2