|
|
 |
Условие
Дана правильная треугольная пирамида SABC, ребро основания которой равно 1. Из вершин A и B основания ABC проведены медианы боковых граней, не имеющие общих точек. Известно, что на прямых, содержащих эти медианы, лежат рёбра некоторого куба. Найдите длину бокового ребра пирамиды.
Решение
Указанные медианы AD и BE боковых граней ASB и BSC лежат на скрещивающихся прямых, а скрещивающиеся рёбра куба взаимно перпендикулярны. Таким образом, требуется найти длину b бокового ребра пирамиды, у которой угол между скрещивающимися медианами боковых граней равен 90°.
Первый способ. По формуле для вычисления медианы треугольника . При параллельном переносе на вектор
образом медианы BE является отрезок FD (точка F лежит на прямой BC, см. рис.). Из треугольника ABF по теореме косинусов
. Треугольник ADF – прямоугольный равнобедренный, поэтому
Значит,
, откуда
.
Второй способ. Пусть ∠SBA = ∠SBC = α. Рассмотрим векторы Имеем:
(см. рис.). Отсюда
Учитывая, что BA = BC = 1 и BS = b, получим: 0 = ¼ (b² + b·1·cos α – 2b·1 – 2·1·1·cos 60°) = ¼ (b² – b cos α – 1).
Из треугольника ABS: b cos α = ½ AB = ½, значит, b² = 3/2, то есть .
Ответ
.
