Задача 64559

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Может ли разность квадратов двух простых чисел быть квадратом натурального числа?

Решение

Например,  5² – 3² = 4²  или  13² – 5² = 12².

Ответ

Может.

Замечания

Существуют и другие примеры, но найти их труднее. Используя свойства пифагоровых троек можно доказать, что во всех остальных случаях выполнения равенства  p² – q² = n²  (p и q – простые числа, n – натуральное) число n кратно 60. Например,  61² – 11² = 60²,  181² – 19² = 180².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1.3