Задача 64564

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF.
Найдите длину ВЕ.

Решение 1

Продолжим отрезок DF до пересечения с прямой АВ в точке K (см. рис.). Прямоугольные треугольники KBF и DCF равны (по катету и острому углу), значит,  KB = DC.  Таким образом, EB – медиана прямоугольного треугольника АЕK, проведенная к гипотенузе, поэтому  ВЕ = ½ AK = 1.

Решение 2

Так как  ∠АBF = ∠AEF = 90°,  то около четырёхугольника АВFE можно описать окружность, значит,  ∠ВАF = ∠СFD (см. рис.).

Из равенства треугольников АВF и DCF следует, что  ∠СFD = ∠ВFА.  В свою очередь,  ∠ВFА = ∠ВЕА.  Таким образом,  ∠ВАF = ∠ВEА,  поэтому треугольник АВЕ – равнобедренный:  ВE = АВ = 1.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.2